Необходимый признак сходимости числового ряда
Если сходится, то
Следствие. Если , то расходится.
Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов
| Название признака | Определение | |
|---|---|---|
| Первый признак сравнения | Если аn ≤ Ьn ∀n то:
1) из сходимости ряда ⇒ сходимость ряда 2) из расходимости ряда ⇒ расходимость ряда |
|
| Второй признак сравнения |
1) при 0 и сходятся и расходятся одновременно; 2) при c = 0 из сходимости ⇒ сходимость 3) при с = ∞ из расходимости⇒ расходимость |
|
| Признак Даламбера |
р , ряд сходится;
р > 1, ряд расходится; p = 1, признак не работает |
|
| Радикальный признак Коши | ||
| Интегральный признак Коши | Пусть ƒ(х) — положительная, непрерывная и убывающая функция на [1,∞), такая, что а1 = ƒ(1), а2 = f(2), …, an= ƒ(n), ….
Если соответствующий несобственный интеграл сходится (расходится), то и ряд сходится (расходится) |
|
Рекомендации к использованию признаков сравнения
Рекомендации к использованию признака Даламбера
Признак целесообразно применять, когда общий член содержит n!(n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · n — n-факториал). При n→∞ для приближенного вычисления n! используется формула Стирлинга:
Сходимость знакопеременных рядов
| Виды сходимости | Определение |
|---|---|
| Абсолютная сходимость | Знакопеременный ряд сходится абсолютно, если ряд составленный из абсолютных величин, сходится |
| Условная сходимость | Знакопеременный ряд сходится условно, если сам он сходится, а ряд расходится |
| Достаточный признак сходимости для знакочередующегося ряда |
Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:
1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ∀n: аn ≥ an+1; 2) |
