Справочная таблица содержит определение двойного и тройного интегралов, их обозначения, геометрический и физический смысл, а также их свойства
Определение двойного и тройного интеграла
| Определение и обозначение интеграла | Геометрический и физический смысл |
|---|---|
|
Двойной интеграл от функции ƒ(x,y) по плоской области (D):
где Δσk (k=1,n) — площади участков, на которые разбита область D; δ — наибольший из диаметров участков; (ζk,ηk) — произвольная точка на k-м участке; dσ = dxdy — элемент площади |
Если z = ƒ(x,y) — уравнение поверхности, ограничивающей цилиндроид сверху, то
— объем цилиндроида. Если p = p(x,y) — плотность неоднородной плоской пластины D, |
|
Тройной интеграл от функции ƒ(x,y,z) по объему V:
где Δvk (k=1,n) — объемы элементарных областей; (ζk,ηk,ξk)-произвольная точка на k-м элементарном объеме; dv = dxdydz — элемент объема |
Если p = p(x,y,z) — плотность неоднородного тела V, то |
Свойства двойного и тройного интегралов
Замечание. Свойства двойного и тройного интегралов аналогичны.
| Свойства | Формула |
|---|---|
| Аддитивность по функции | |
| Аддитивность по области интегрирования |
если область D = D1 ∪ D2 |
| Однородность | |
| Теорема о среднем |
где S — площадь D |
| Интегрирование неравенств | |
| Оценка интеграла | |
| Интеграл по модулю |
