Основные понятия и характеристики | Формулы и поясняющие рисунки | Пример |
---|---|---|
Определение поля |
Векторное поле — часть пространства, в каждой точке M(x,y,z) которого задана векторная функция
Для плоского поля |
Поле линейных скоростей вращающегося тела имеет вид:
Найти: А) векторные линии поля; Б) дивергенцию поля; В) циркуляцию вектора поля; Г) ротор поля. Решение А) Имеем плоское векторное поле: Интегрируем: T.o., векторные линии — окружности с центрами на оси OZ, лежащие в плоскостях, перпендикулярных к этой оси Б) В) Будем считать, что направление нормали к плоскости совпадает с направлением оси OZ. площадь поверхности, ограниченной кривой L. Заметим, что если нормаль к поверхности S образует угол γ с осью OZ, то циркуляция C=2w·S·cosγ Ротор поля направлен параллельно оси вращения, его модуль равен удвоенной угловой скорости. С точностью до числового множителя ротор поля скоростей представляет собой угловую скорость вращения твердого тела |
Геометрические характеристики | Векторные линии — кривые, в каждой точке которых вектор поля направлен по касательной:
Векторная трубка — поверхность, образованная векторными линиями |
|
Поток вектора через поверхность σ | Поток векторного поля α через поверхность σ — интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный вектор нормали к поверхности: | |
Дивергенция векторного поля | Дивергенция вектора α — скаляр, равный объемной плотности потока в рассматриваемой точке поля:
где σ — замкнутая поверхность, ограничивающая объем V; n° — орт ее внешней нормали; объем V->0 стягивается к рассматриваемой точке. Расчетная формула: |
|
Связь между характеристиками | Векторная формулировка теоремы Гаусса — Остроградского: | |
Циркуляция векторного поля | Пусть
— радиус-вектор точки М на контуре L. Циркуляция вектора α вдоль L -криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного произведения вектора α на вектор dr, касательный к контуру L. Физический смысл — работа силы F(M) поля при перемещении материальной точки вдоль замкнутого контура L |
|
Ротор векторного поля | Ротор поля rot α — вектор, проекция которого на любое направление n равна поверхностной плотности циркуляции по контуру площадки, перпендикулярной к этому направлению.
где σ — поверхность, натянутая на замкнутый контур L; n° — орт нормали к поверхности, направленный в ту сторону поверхности, с которой обход контура L виден совершающимся против часовой стрелки. Расчетная формула: |
|
Связь между характеристиками | Векторная формулировка теоремы Стокса: |
Радость – ощущение великолепное , но свирепая иллюзорность принуждает нас усомниться в то , что одной страсти для беззаботного развода слишком . Решившись на такой первостепенный полушаг , как помолвка , нужно постараться математически оценить своевременность своего рассмотрения .