Таблица: Степенные ряды — определение, свойства и основные понятия

0
11
Математика таблица
Основные понятия Определение
Понятие степенного ряда mat 11 30

степенной ряд, разложенный по степеням (х — х0), где постоянные а0, а1, …, аn, …, — коэффициенты ряда; х ∈ R — действительная переменная; х0— некоторое постоянное число

Сходимость степенных рядов Область сходимости — множество всех точек сходимости. Областью сходимости служит промежуток (х0—R, х0+R), дополненный, быть может, его концами.

Число R — радиус сходимости. Если ряд сходится во всех точках, то R=∞ . Радиус сходимости определяют по формуле:

mat 11 31

Свойства степенных рядов 1. Сумма степенного ряда — непрерывная функция в интервале сходимости (х0—R, х0+R)

2. Степенные ряды mat 11 32внутри интервала сходимости можно почленно складывать, вычитать и умножать.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

mat 11 33

4. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно интегрировать:

mat 11 34

5. mat 11 35

Виды степенных рядов Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции ƒ(х) в окрестности точки х = а:

mat 11 36

Ряд Маклорена — частный случай ряда Тейлора при

mat 11 37

Сходимость функции к ряду Тейлора Представим функцию в виде: mat 11 38

mat 11 39

mat 11 40— остаточный член в форме Лагранжа.

Теорема. Ряд Тейлора сходится к функции mat 11 41

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here