Таблица: Степенные ряды — определение, свойства и основные понятия

0
23
Основные понятия Определение
Понятие степенного ряда

степенной ряд, разложенный по степеням (х — х0), где постоянные а0, а1, …, аn, …, — коэффициенты ряда; х ∈ R — действительная переменная; х0— некоторое постоянное число

Сходимость степенных рядов Область сходимости — множество всех точек сходимости. Областью сходимости служит промежуток (х0—R, х0+R), дополненный, быть может, его концами.

Число R — радиус сходимости. Если ряд сходится во всех точках, то R=∞ . Радиус сходимости определяют по формуле:

Свойства степенных рядов 1. Сумма степенного ряда — непрерывная функция в интервале сходимости (х0—R, х0+R)

2. Степенные ряды внутри интервала сходимости можно почленно складывать, вычитать и умножать.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать:

4. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно интегрировать:

5.

Виды степенных рядов Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции ƒ(х) в окрестности точки х = а:

Ряд Маклорена — частный случай ряда Тейлора при

Сходимость функции к ряду Тейлора Представим функцию в виде:

— остаточный член в форме Лагранжа.

Теорема. Ряд Тейлора сходится к функции

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Please enter your comment!
Please enter your name here