Основные понятия | Определение |
---|---|
Понятие степенного ряда |
степенной ряд, разложенный по степеням (х — х0), где постоянные а0, а1, …, аn, …, — коэффициенты ряда; х ∈ R — действительная переменная; х0— некоторое постоянное число |
Сходимость степенных рядов | Область сходимости — множество всех точек сходимости. Областью сходимости служит промежуток (х0—R, х0+R), дополненный, быть может, его концами.
Число R — радиус сходимости. Если ряд сходится во всех точках, то R=∞ . Радиус сходимости определяют по формуле: |
Свойства степенных рядов | 1. Сумма степенного ряда — непрерывная функция в интервале сходимости (х0—R, х0+R)
2. Степенные ряды внутри интервала сходимости можно почленно складывать, вычитать и умножать. 3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать: 4. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно интегрировать: 5. |
Виды степенных рядов | Ряд Тейлора для бесконечно дифференцируемой функции ƒ(х) в окрестности точки х = а:
Ряд Маклорена — частный случай ряда Тейлора при |
Сходимость функции к ряду Тейлора | Представим функцию в виде:
— остаточный член в форме Лагранжа. Теорема. Ряд Тейлора сходится к функции |