Брадис таблица — как пользоваться

Как пользоваться таблицами Брадиса

Каждая таблица Брадиса дает значения какой-либо величины (функции) в зависимости от значения некоторой другой величины (аргумента). На­пример, таблица 3 дает значения квадрата в зависимости от значений возводимого в квадрат числа (функция у = х2 аргумента х), таблица 7 — значения площади круга в зависимости от значений его диаметра (функция К = πd2/4 аргумента d) и т. д. Ради экономии места все таблицы сборника расположены «в два хода»: каждое табличное значение функции находится на пересечении строки, имеющей в заголовке (слева) некоторые первые цифры соответствующего назначения аргумента, и столбца, имею­щего в заголовке (сверху) остальные его цифры. Например, для квадрата числа 5,67 находим в таблице 3 на строке 5,6 в столбце 7 значение 32,15, представляющее со­бой результат округления до 4 значащих цифр точного квадрата 5,672 = 32,1489.

Все табличные значения функций, приведенные в сборнике, получены путем ок­ругления до 4 или 5 значащих цифр соответствующих точных значений, а потому от­личаются от точных не более как на половину единицы разряда последней цифры. Например, найдя из таблицы 7, что площадь круга диаметра 2,16 линейных единиц равна 3,664 соответствующих квадратных единиц (строка 2,1, столбец 6), мы можем быть уверены, что точное значение этой площади отличается от этой таб­личной не больше чем на половину тысячной, то есть что 3,6635

Значения аргумента в каждой таблице равномерно растут (по крайней мере в не­котором интервале), и постоянное значение разности двух соседних значений аргу­мента носит название «ступени» таблицы. Так, в таблице 3 ступень везде 0,01, а в таблице 4 сперва 0,01, потом 0,1. Значения функции в большинстве таблиц тоже растут, но равномерным их рост оказывается только для линейных функций, т. е. функций вида у = ах + Ь, где а и Ь — постоянные. Увеличение х на ступень h дает у та­ких функций увеличение функции на постоянное число ah. Например, при увеличе­нии диаметра на 0,01 длина окружности С = πd увеличивается на 0,01π = 0,0314…. Просматривая табличные значения длины окружности, замечаем, что при возрастании d на 0,01 они возрастают то на 31, то на 32 тысячных. Это небольшое колебание вызвано приближенным характером табличных значений.

Разность двух соседних табличных значений функции называется «табличной разностью». Имея дело с таблицей функции, изменяющейся неравномерно, следует различать два случая: случай «почти равномерного» изменения функции, когда таб­личные разности изменяются очень медленно, и случай «резко неравномерного» ее изменения, когда уже соседние табличные разности отличаются друг от друга на не­сколько единиц последнего разряда. Так, в таблице кубов 13 = 1, 23 = 8, 33 — 27, 43 = 64,… мы имеем пример таблицы с резко неравномерным изменением функции, но если ту же таблицу кубов взять со ступенью не в 1, а в 0,001 и округлять кубы до 4 зна­чащих цифр, то получится таблица с почти равномерным изменением функции, ко­торую мы и имеем, где на протяжении всей строки 1,00 табличные раз­ности равны 3 (тысячным), а на нескольких следующих — то 3, то 4. Различие между таблицами с равномерным, почти равномерным и резко неравномерным изменением функции проявляется особенно наглядно при изображении этих функций посред­ством графиков в прямоугольных координатах: в первом случае получается график в виде прямой, во втором — в виде кривой, небольшие участки которой искривлены едва заметно, в третьем — в виде кривой с заметной кривизной уже на каждом малом участке. Одна и та же таблица может быть таблицей с почти равномерным изменени­ем функции на одном интервале и с резко неравномерным ее изменением на другом. Такова, например, таблица 9, где на передних строках изменение функ­ции резко неравномерно. Имея таблицу с резко неравномерным изменением функ­ции, можно превратить ее в таблицу с почти равномерным изменением двумя спосо­бами: уменьшением ступени таблицы, то есть заменой ее другой, более подробной, что делается не так просто (надо либо иметь такую более подробную таблицу, либо за­ново ее составить), или округлением табличных значений, что делается очень просто, но связано с потерей точности. Например, тангенсы углов, указанные в таблице 10 на строке 89°20′ с точностью до сотых и изменяющиеся резко неравномерно, после округления до десятых становятся изменяющимися почти равномерно.

Каждая таблица содержит значения функции не для всех, а лишь для некоторых значений аргумента. Возникает вопрос: как получить значения функции для проме­жуточных значений аргумента? Операция получения таких значений носит название «интерполяции». Ее иногда образно называют «чтением между строками таблицы».

В случае таблицы с равномерным или почти равномерным изменением функции применяется так называемая «линейная интерполяция», состоящая в следующем. Ес­ли при увеличении значения аргумента на И единиц какого-либо разряда функция увеличивается на d единиц некоторого разряда, то в силу равномерности изменения функции увеличение аргумента на 1 вызывает увеличение функции на d/h единиц, а увеличение аргумента на u — увеличение функции на v = du/h единиц. Очевидно, что для получения искомого значения функции надо взять ближайшее меньшее таблич­ное ее значение и прибавить эту «поправку» v. Например, чтобы узнать, чему равен квадрат числа 8,053, берем в таблице 3 8,052 = 64,80, 8,062 = 64,96, 8,072 = 65,12 и убеждаемся, что изменение функции здесь почти равномерно: при ступени h = 0,01 или 10 тысячным табличная разность составляет здесь 16 сотых. Данное значение ар­гумента 8,053 превосходит ближайшее меньшее табличное его значение 8,05 на u = 3 (тысячным), а потому поправка v равна 16·3/10 = 4,8 = 5 (сотым). Прибавив ее к бли­жайшему меньшему табличному значению функции 8,052 = 64,80, получим 8,0532 = = 64,80 + 0,05 = 64,85 (непосредственное умножение дает точно 8,0532 = 64,850809).

Вместо того чтобы брать поправку на «избыток» данного значения аргумента над ближайшим меньшим табличным его значением, как мы это только что делали, мож­но дать поправку на его «недостаток» по сравнению с ближайшим большим таблич­ным его значением и вычитать поправку из ближайшего большего значения функ­ции. Например, для получения квадрата числа 8,057 берем 8,062 = 8,0602 = 64,96 и вы­читаем поправку на 3 тысячных, равную 5 сотым, получая 8,0572 = 64,91 (при точном значении, равном 64,915249). Поправка на избыток выгоднее, если избыток не пре­восходит половины ступени; в противном случае выгоднее брать поправку на недо­статок.

Операцию линейной интерполяции можно объяснять, исходя не из равномер­ности изменения функции, как мы это сейчас делали, а из пропорциональности при­ращений аргумента и функции, т. е. из пропорциональности избытка аргумента и по­правки для функции, прекрасно иллюстрируемой на графике, где получаются два по­добных прямоугольных треугольника, один с катетами h и d, другой с катетами u и v. По существу, оба способа, конечно, тождественны, так как оба основаны на одной и той же пропорции u_v=h:d.

Какова точность результатов, получаемых посредством линейной интерполяции? Здесь имеются три источника погрешностей: неточность взятого ближайшего таблич­ного значения функции, не превосходящая половины единицы разряда последней его цифры; неточность поправки, обусловленная неточностями табличных значений и округлением поправки, и, наконец, неточность поправки, вызванная неполной равномерностью изменения функции. Более глубокое рассмотрение вопроса показы­вает, что при разнице двух соседних значений табличной разности, не превосходящей 4 единиц, третий источник погрешности сколько-нибудь заметного влияния не име­ет, и общая погрешность результата линейной интерполяции лишь в исключительно редких случаях может немного превзойти единицу разряда последней цифры. Это за­ключение легко проверяется на опыте. Например, пользуясь таблицей квадратов, нахо­дим, применяя линейную интерполяцию, квадраты чисел, приведенных ниже в пер­вой строке, и пишем их во второй строке, а в третьей строке помещаем соответствую­щие точные квадраты, округленные до четвертого десятичного знака, в четвертой же — разности чисел второй и третьей строк, выраженные в сотых долях.

Как видим, погрешности интерполированных значений нигде не превосходят единицы разряда последней цифры.

Чтобы облегчить выполнение линейной интерполяции, в большинстве таблиц настоящего сборника даны «готовые поправки» в столбцах справа, набранные курси­вом. Если табличные разности мало меняются на протяжении целой строки, то по­правки по формуле v = du/h можно вычислить для всех чисел строки. Например, для строки 8,0 таблицы квадратов №3 поправка на 0,001 в начале строки равна (8,012 — 8,002):10 = 0,01601, или 1,601 (сотых), а на конце ее (8,102 — 8,092): 10 = 0,01619, или 1,619, а в среднем 1,610 (сотых). Умножая эту среднюю поправку на числа от 1 до 9, получаем 1,61; 3,22; 4,83; 6,44; 8,05; 9,66; 11,27; 12,88; 14,49 или после округления до целых 2; 3; 5; 6; 8; 10; 11; 13; 14.

Именно эти числа и приведены на строке 8,0 таблицы квадратов справа (набраны курсивом). Как показывает опыт, применение этих готовых поправок сберегает до 50% времени, затрачиваемого на работу с таблицами.

Если табличные разности на протяжении строки меняются более заметно, гото­вые поправки приходится вычислять для частей строки, как это сделано, например, в таблице 9 для строк 73°, 74°, 75° или для нескольких первых строк таблицы 13 мантисс логарифмов. Если изменение табличных разностей на протя­жении строки выражено еще резче, от готовых поправок приходится отказаться. В та­ких случаях операцию линейной интерполяции приходится проводить полностью, находя h, d, u, v = du/h, как, например, в таблице 15 и нескольких других.

При большой табличной разности поправку следует вводить не только на первую цифру избытка, но и на вторую, если она имеется, уменьшая приведенные в таблице го­товые поправки в 10 раз. Так, чтобы найти 2,93452, в таблице 3 берется 2,932 = 8,585 и прибавляется поправка на 4 тысячных, равная 24 (тысячным), а затем поправка на 5 де­сятитысячных, равная 29:10 = 3 (тысячным), и получается окончательно 8,612 (непо­средственное умножение дает 8,61129…).

Как мы уже видели, если избыток данного значения аргумента больше половины ступени, выгоднее пользоваться ближайшим большим значением функции, отнимая от него поправку на недостаток данного значения аргумента по сравнению с ближай­шим большим его значением. Поэтому во всех таблицах, где аргументом служит угол и где ступень равна 6′, готовые поправки даны только на 1′, 2′, 3′. Если избыток со­ставляет 4′ или 5′, надо брать поправку на 2′ или 1′, вычитая ее из ближайшего боль­шего значения функции. Кроме экономии места, занимаемого таблицей, это дает не­который выигрыш в точности получаемых результатов, так как малые поправки точнее больших.

Необходимо решительно предостеречь от применения линейной интерполяции в случае резко неравномерного изменения функции. Всякий раз, когда готовые по­правки не даны, а нужно интерполировать, следует выяснить, насколько равномерен ход функции, и применять линейную интерполяцию лишь в том случае, когда со­седние табличные разности мало отличаются друг от друга (не больше чем на 4 единицы), а в противном случае искать других путей. Так, например, желая найти lg sin 1°04’36», берем в таблице 15, где готовых поправок нет, lg sin 1°04′ — 2,2699, lg sin 1°05′ = 2,2766, lg sin 1°06′ = 2,2832 и убеждаемся, что линейная интерполяция здесь допустима, так как табличные разности равны 67 и 66. Вычисляя v = 67·36/60 = 40,2 = 40 и прибавляя эту поправку к табличному логарифму 2,2699, получаем lg sin 1°04’36» = 2,2739 (по семизначным таблицам получается 2,2739331). Но если на­до получить lg sin 0°05’30» и мы применим тот же способ линейной интерполяции, то получим lg sin 0°05′ = 3,1627, d = 792, h =60″, u = 30″, v = 792/60 · 30 = 396, lg sin 0°05’30» =60= 3,2023, в то время как более точное значение этого логарифма, найденное по семи­значным таблицам, есть 3,2040886. Недопустимо большая погрешность нашего ре­зультата обусловлена резко неравномерным изменением функции: рядом с использо­ванной нами табличной разностью 792 находится разность 669, линейная интерполя­ция здесь недопустима. Здесь можно воспользоваться тем обстоятельством, что при очень малых углах синус весьма мало отличается от радианной меры (меньше чем на шестую часть куба этой радианной меры). В таблице 11 берем радианную меру уг­ла в 5′, равную 0,0014544, а также угла в 30″, равную 0,00014544, и, складывая, получа­ем число 0,0015998, представляющее собой приближенное значение sin 0°05’30» с 7 точными десятичными знаками. Найдя по таблице 13 его логарифм, получаем 3,2041, т. е. как раз то, что надо.

Во многих случаях таблицы дают непосредственно значения функции лишь в од­ном ограниченном интервале значений аргумента, но путем несложных дополни­тельных расчетов, производимых обычно в уме, можно существенно расширить этот интервал. Так обстоит дело с таблицами квадратов, кубов, обратных значений и ряда других. Возьмем, например, таблицу 7, дающую непосредственно значения площа­ди круга с диаметром от d = 1 до d = 10, замечая, что при увеличении диаметра круга в 10 раз его площадь увеличивается в 102 = 100 раз, мы можем по этой же таблице нахо­дить площадь круга любого диаметра. Например, желая найти площадь круга диа­метра d = 49,52, находим по таблице сперва площадь круга диаметра 4,952 (стро­ка 49, столбец 5, поправка на 2), равную 19,26, а затем увеличиваем этот результат в 100 раз и получаем окончательно 1926. Чтобы найти площадь круга с диаметром d = 0,04567, получаем сперва площадь круга диаметра 4,567 (строка 45, столбец 7, вычитается поправка на 3), равную 16,38, потом уменьшаем ее в 1002 = 10000 раз и получаем 0,001638.

Разобрав во всех деталях вопрос о разыскании посредством таблиц значения функции по данному значению ее аргумента, то есть так называемый «прямой воп­рос», переходим к «обратному вопросу», когда по данному значению той функции, для которой таблица составлена, надо найти соответствующее значение аргумента.

Если данное значение функции имеется в таблице, все дело сводится к выписы­ванию соответствующего значения аргумента. Если же данного значения функции в таблице нет, то пользуются той же операцией линейной интерполяции, внеся в нее надлежащие изменения и предварительно убедившись в ее допустимости. Берут бли­жайшее меньшее табличное значение функции и находят, сколько надо добавить к со­ответствующему значению аргумента, чтобы довести это ближайшее меньшее значе­ние функции до данного. Здесь используется та же пропорция u:v = h:d, что и рань­ше, с той лишь разницей, что теперь у дано, и ищем а по формуле u = hv/d. Так, чтобы найти с помощью таблицы квадратов число, квадрат которого равен 4,235, т. е. квад­ратный корень из числа 4,235, берут ближайший меньший и ближай­ший больший табличные квадраты 4,203 = 2,052 и 4,244 = 2,062. Здесь ступень h = 10 (тысячным), табличная разность d = 41 (тысячной), следующая табличная разность то­же 41, линейная интерполяция допустима. Чтобы довести ближайшее меньшее таблич­ное значение до данного, надо увеличить это ближайшее на 4,235 — 4,203 = 0,032, отку­да v = 32 (тысячным). Поэтому u = 10·32/41 =8 и искомый корень равен 2,050 + 0,008 = 2,058. Можно взять не ближайшее меньшее, а ближайшее большее значение функ­ции и уменьшать его до данного, выясняя, каково соответствующее уменьшение бли­жайшего большего значения аргумента. В данном примере соответственно этому бе­рем 4,244 — 4,235 = 0,009, т. е. и = 9 (тысячным), и находим u = 10·9/41 ≈ 2, а затем ис­комый корень 2,060 — 0,002 = 2,058. Вообще, лучше пользоваться тем из ближайших табличных значений функции, какое ближе к искомому.

Применение готовых поправок и здесь существенно облегчает работу: найдя раз­ность между данным значением функции и ближайшим табличным ее значением (меньшим или большим), смотрим, какая поправка из напечатанных курсивом на той же строке ближе всего к этой разности, и берем цифру, находящуюся в заголовке со­ответствующего столбца. Для получения квадратного корня из числа 4,235 достаточ­но заметить, что это число отличается от ближайшего меньшего табличного квадрата на 32 (тысячных) и что среди поправок, напечатанных на этой же строке, ближайшей к этому числу 32 является 33. Прибавив к соответствующему табличному значению аргумента 2,05 число 8 (тысячных), взятое из заголовка этого столбца поправок, по­лучаем окончательно 2,05 + 0,008 = 2,058. Если взять ближайшее большее значение функции (4,244), то получается разность 4,244 — 4,235 = 0,009. В столбцах поправок находим ближайшую цифру 8 в столбце 2 и выполняем вычитание 2,06 — 0,002, при­водящее к тому же результату 2,058.

Вопрос о точности, с какой обратная линейная интерполяция дает искомое зна­чение функции, довольно сложен. Оказывается, что здесь возможны самые различ­ные случаи и что результат здесь тем более точен, чем больше табличная разность (предполагается, что линейная интерполяция допустима). Например, если дано при­ближенное значение sin А = 0,9997 с 4 точными десятичными знаками, то в таблице 8 мы находим целых три угла с таким синусом (88°30′, 88°36′, 88°42′). Полагая А = 88°36′, надо иметь в виду, что это значение искомого угла весьма неточно: оно мо­жет отличаться от точного до 9′. Если же sin A = 0,1070, то находимое по таблице 8 с помощью готовых поправок значение 6°08′ отличается от точного, как можно пока­зать, не больше чем на 1′: применение способа границ приводит к заключению, что 6°08′

Итак, каждая таблица служит не только для получения значений той функции, для которой она составлена, но и для получения значений аргумента, т. е. для получе­ния значений обратной функции: по таблице квадратов можно находить и квадрат­ные корни, по таблице логарифмов — антилогарифмы и т. д. Однако опыт показыва­ет, что решение обратного вопроса требует несколько большей затраты труда, чем решение прямого, а потому в настоящем сборнике наряду с таблицей логарифмов по­мещена таблица антилогарифмов, наряду с таблицей квадратов — таблица квадрат­ных корней, хотя можно было бы обойтись и без них.

До сих пор речь шла только о таблицах возрастающих функций. Легко видеть, как изменяется способ пользования таблицей, если функция убывает, как например, в таблице 2, дающей значения дробей вида 1/и, или в таблице 8 при разыскании косинусов. При работе с таблицей возрастающей функции ошибки от недостаточного внимания случаются реже, а потому можно рекомендовать заменять подыскание ко­синусов подысканием синусов дополнительных углов, подыскание котангенсов — подысканием тангенсов дополнительных углов.

Таблицы настоящего сборника, вообще говоря, обеспечивают получение иско­мых значений с 4, иногда с 5 значащими цифрами. Но бывают особо неблагоприят­ные случаи вычислений (вычитание из приближенного числа другого приближенного числа, близкого к первому, возведение приближенного числа в степень с большим показателем и т. д.), когда окончательный результат получается с меньшей точно­стью. Если точность результата требуется большая, надо либо обратиться к более под­робной таблице (пятизначной, семизначной и т.д.), либо проводить вычисление не­посредственно, что не представляет непреодолимых трудностей при возведении в степень, извлечении корня и некоторых других операциях. Ниже приведены некото­рые «ряды», позволяющие находить с произвольно высокой точностью значения ло­гарифмов, антилогарифмов, синусов, косинусов, тангенсов, корней квадратных и ку­бических.